문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라그랑주 역학 (문단 편집) === 뉴턴 역학에서 라그랑주 역학으로 환원하기 === 먼저해야 할 일은 달랑베르의 원리를 상기하는 것이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \delta W=(\mathbf{F}-\mathbf{\dot{p}})\boldsymbol{\cdot}\delta \mathbf{r}=0 )] }}} 이 원리는 평형을 이루는 물체의 가상 변위에 대한 가상 일은 없음을 나타낸다. 이 원리를 사용하여 우리의 목적을 이루어보자. 우선 위 것을 성분 별로 쓴다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{i} (F_{i}-\dot{p}_{i})\delta x_{i}=0 )] }}} 뉴턴 역학에서 [math(p_{i}=m\dot{x}_{i})]이기에 [math(\dot{p}_{i}=m\ddot{x}_{i})]이다. 라그랑주 역학에서는 일반화 좌표를 도입하기 때문에 [math(x_{i}(q_{j},\,t))]로 쓸 수 있다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \delta x_{i}=\sum_{j} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} \delta q_{j} )] }}} 이다. 이는 가상 변위를 고려하기에 시간에 대한 고려를 할 필요가 없기 때문에 시간에 대한 미분 항은 나타나지 않은 것이다. 이것은 [[변분법]] 문서의 [math(\delta)]기호에 관한 부분을 보는 것을 권장한다. 이상에서 위의 달랑베르 원리에서 운동량 항만 보게 되면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{i} \dot{p}_{i}\delta x_{i}=\sum_{ij} m\ddot{x}_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} \delta q_{j} )] }}} 그런데 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left[ \dot{x}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} \right]=\ddot{x}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}}+\dot{x}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} )] }}} 인데, 여기서 우변의 제 2항의 미분 연산은 편미분 안으로 넣을 수 있어서, ||{{{#!folding [증명] ------- {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial q_{j}}&=\sum_{k} \frac{\partial }{\partial q_{j}}\left[\frac{\partial \dot{x}}{\partial q_{k}}\dot{q}_{k}+\frac{\partial x_{i}}{\partial t} \right] \\&=\sum_{k} \left[\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{j} \partial q_{k}}\dot{q}_{k}+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}\frac{\partial \dot{q}_{k}}{\partial q_{j}} \right]+\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{j} \partial t}\end{aligned})] }}} 여기서 일반화 좌표와 일반화 속도는 서로 독립적인 양이므로 제 2항은 사라진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial q_{j}}&=\sum_{k} \frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{j} \partial q_{k}}\dot{q}_{k} +\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{j} \partial t}\\&=\sum_{k} \frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{k} \partial q_{j} }\dot{q}_{k} +\frac{\partial^{2} x_{i}}{ \partial t \partial q_{j}}\end{aligned})] }}} 여기서 [math(f\equiv \partial x_{i}/\partial q_{j})]라 놓으면 그 꼴이 선명히 보이는데 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial q_{j}}&=\sum_{k} \frac{\partial f}{\partial q_{k} }\dot{q}_{k} +\frac{\partial f}{ \partial t } \\&=\dot{f} \\&=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} \end{aligned})] }}} 따라서 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}}=\frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial q_{j}} \end{aligned})] }}}}}} || {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left[ \dot{x}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} \right]=\ddot{x}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}}+\dot{x}\frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial q_{j}} )] }}} 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{i} \dot{p}_{i}\delta x_{i}=\sum_{ij} m \left[\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left[ \dot{x}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} \right]-\dot{x}\frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial q_{j}} \right] \delta q_{j} )] }}} 여기서 다음의 사실을 이용한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}}=\frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}} )] }}} ||{{{#!folding [증명] ------- {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}&=\sum_{k}\frac{\partial }{\partial \dot{q}_{j}} \left[ \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}\dot{q}_{k}+\frac{\partial x_{i}}{\partial t} \right] \\&=\sum_{k} \left[\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial \dot{q}_{j}\partial q_{k}}\dot{q}_{k}+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}\frac{\partial \dot{q}_{k}}{\partial \dot{q}_{j}} \right] +\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial \dot{q}_{j} \partial t}\end{aligned})] }}} 한편, [math(x_{i}(q_{j},\,t))]이므로 제 1항과 제 3항은 사라진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}&=\sum_{k}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}\frac{\partial \dot{q}_{k}}{\partial \dot{q}_{j}} \\&=\sum_{k}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}\delta_{jk} \\ &=\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} \end{aligned})] }}} [math(\delta_{jk})]는 [[크로네커 델타]]이다.}}} || 이에 ||<:> {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{i} \dot{p}_{i}\delta x_{i}&=\sum_{ij} m \left[\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left[ \dot{x}\frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}} \right]-\dot{x}\frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial q_{j}} \right] \delta q_{j} \\ &=\sum_{ij} \left[\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{j}}\left[ \frac{1}{2}m \dot{x}_{i}^{2} \right]-\frac{\partial}{\partial {q}_{j}}\left[ \frac{1}{2}m \dot{x}_{i}^{2} \right] \right] \delta q_{j} \\&=\sum_{j} \left[\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{j}}\left[ \frac{1}{2}m \left(\sum_{i} \dot{x}_{i}^{2} \right) \right]-\frac{\partial}{\partial {q}_{j}}\left[ \frac{1}{2}m \left(\sum_{i} \dot{x}_{i}^{2} \right) \right] \right] \delta q_{j} \\&=\sum_{j} \left[\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{j}}\left[ \frac{1}{2}m |\mathbf{\dot{r}}|^{2}\right]-\frac{\partial}{\partial {q}_{j}}\left[ \frac{1}{2}m |\mathbf{\dot{r}}|^{2} \right] \right] \delta q_{j} \end{aligned} )] }}} || 여기서 다음의 [[곱미분]]을 이용했다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial u}(\dot{x}_{i}^{2})=2\dot{x}_{i} \frac{\partial \dot{x}_{i}}{\partial u} \end{aligned} )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{i} \dot{p}_{i}\delta x_{i}&=\sum_{j} \left[\frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial {q}_{j}} \right] \end{aligned} )] }}} 여기서 나온 [math(T)]가 [[운동 에너지]]이다. 이번엔 힘과 관련된 항을 보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{i} F_{i}\delta x_{i}= \sum_{ij} F_{i}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j} }\delta q_{j} )] }}} 여기서 나온 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{i}F_{i}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j} } \equiv Q_{j} )] }}} 를 '''일반화 힘(generalized force)'''라 정의한다. 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{j}\left[Q_{j}-\left[\frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial {q}_{j}} \right] \right]\delta q_{j}=0 )] }}} 인데, [math(\delta q_{j} \neq 0)]이므로 일반적으로 위 등식이 성립하려면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial {q}_{j}}=Q_{j} \qquad \cdots \, \small{(\ast)})] }}} 이것이 라그랑주 역학 버전의 달랑베르의 원리이다. 가장 간단하게 힘을 퍼텐셜 에너지의 음의 그레이디언트로 얻을 수 있다 가정하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle F_{i}=-\frac{\partial U}{\partial x_{i}})] }}} 이 때 주어지는 일반화 힘은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle -\frac{\partial U}{\partial q_{j} } = Q_{j} )] }}} 이것을 [math((\ast))]에 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial (T-U)}{\partial {q}_{j}}=0 )] }}} '''퍼텐셜 에너지가 일반화 속도에 무관하다면''' 이 식을 다음과 같이 써도 무방하다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \frac{\partial (T-U)}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial (T-U)}{\partial {q}_{j}}=0 )] }}} 여기서 나온 [math(L \equiv T-U)]가 바로 라그랑지언이고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial L}{\partial {q}_{j}}-\frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}=0 )] }}} 위 식은 곧 오일러-라그랑주 방정식이다. 위 논의는 '''라그랑주 역학이 뉴턴 역학과 전혀 다른 새로운 이론이 아닌 서로 등가성을 이룸'''을 보여준다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기